Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面 ABCD，

側(cè)棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中

BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.

（1）求證：PO⊥平面ABCD；

（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

（3）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（2）（3）存在點Q滿足題意，此時

解析:

（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD,O為AD中點，所以PO⊥AD,

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,

平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.   ……3分

(Ⅱ)解  以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz,依題意，易得

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以        …5分

所以異面直線PB與CD所成的角是余弦值為，     ………………7分

(Ⅲ)解  假設(shè)存在點Q，使得它到平面PCD的距離為，

由(Ⅱ)知設(shè)平面PCD的法向量為n=(x₀,y₀,z₀).

則所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一個法向量為n=(1,1,1).      …………………9分

設(shè)由，得解y=-或y=(舍去)，                         …………………11分

此時，所以存在點Q滿足題意，此時�！�12分