Question

如圖，在直三棱柱(即側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)中，

（I）若為的中點，求證：平面平面；

（II）若為線段上一點，且二面角的大小為，試確定的位置．

 

Answer 1

【答案】

（I）略；（II）．

【解析】

試題分析：（I）可以轉(zhuǎn)為證線面垂直或利用空間向量證明面面垂直；（II）可利用的面積求也可利用空間向量求．

試題解析：方法一：（I）證明：∵，∴.        

又由直三棱柱的性質(zhì)知，         

∴平面，∴，            ①       

由為的中點，可知，

∴，即，             ②      

又                                 ③

由①②③可知平面，      

又平面，故平面平面.         

（II）解：由（I）可知平面，在平面內(nèi)過作，交或其延長線于，連接，∴為二面角的平面角，      

∴.由知，，設(shè)，則.

∵的面積為，∴.         

解得，即.    

方法二：（I）證明：如圖，以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則即

           

由，得；         

同理可證，得.         

又平面.            

又平面，∴平面平面.       

（II）解：設(shè)，則點坐標(biāo)為

設(shè)平面的一個法向量為．

則令.

得，

又平面的一個法向量為，        

則由，得，       

即，故.           ……

考點：1、空間面面垂直關(guān)系的證明；2、二面角有關(guān)計算；3、空間向量的應(yīng)用．