Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為3的正方體，點E在AA₁上，點F在CC₁上，且AE=FC₁=1．
（1）求證：E，B，F(xiàn)，D₁四點共面；
（2）若點G在BC上，BG=

2

3

，點M在BB₁上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面BCC₁B₁；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角大小，求tanθ．

Answer 1

分析：（1）四點共面問題通常我們將它們變成兩條直線，然后證明這兩條直線平行或相交，根據(jù)公理3的推論2、3可知，它們共面．
（2）在正方體中，易知AB⊥面BCC₁B₁，所以欲證EM⊥面BCC₁B₁，可以先證AB∥EM；或者也可以從平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁入手去證明，那么我們一開始就需要算出BM的長度．
（3）由第二問的證明可知，利用三垂線定理，∠MHE就是截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角的平面角．

解答：解：（1）證明：在DD₁上取一點N使得DN=1，
連接CN，EN，顯然四邊形CFD₁N是平行四邊形，所以D₁F∥CN，
同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN∥AD，且EN=AD，又
BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以
CN∥BE，所以D₁F∥BE，所以E，B，F(xiàn)，D₁四點共面；

（2）因為GM⊥BF所以△BCF∽△MBG，
所以

MB

BC

=

BG

CF

，即

MB

3

=

2 3

2

，所以MB=1，因為AE=1，
所以四邊形ABME是矩形，所以EM⊥BB₁又平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁
，且EM在平面ABB₁A₁內(nèi)，所以EM⊥面BCC₁B₁；

（3）EM⊥面BCC₁B₁，所以EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF，
所以∠MHE就是截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角的平面角，
∠EMH=90°，所以tanθ=

ME

MH

，ME=AB=3，△BCF∽△MHB，
所以3：MH=BF：1，BF=

22+32

=

13

，
所以MH=

3

13

，所以tanθ=

ME

MH

=

13

．

點評：（1）主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論．
（2）主要考查了直線和平面垂直的判定，方法主要是通過線與線垂直、面與面垂直進行轉(zhuǎn)化．
（3）主要考查了三垂線定理的應(yīng)用，三垂線定理是尋找二面角的平面角的很好的方法．