使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
＜a-2007
1
3
對一切正整數(shù)n都成立的最小正整數(shù)a的值為
2009
2009
．
分析：不等式的左側(cè)設(shè)為an，構(gòu)造數(shù)列{an}通過證明數(shù)列是遞減數(shù)列，求出使不等式成立的最小正整數(shù)a的值．
解答：解：設(shè)：an=
1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
，
an+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…  +
1
2n+3
，
an+1-an=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+1
＜0
所以{an}對于n為正整數(shù)時(shí)為單調(diào)遞減數(shù)列，
使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
＜a-2007
1
3
對一切正整數(shù)n都成立的最小正整數(shù)a的值，
就是n=1時(shí)，a＞2007
1
3
+
1
2
+
1
3
=2008+
1
6
成立的最小整數(shù)．即2009．
故答案為：2009．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查數(shù)列與不等式的關(guān)系，考查構(gòu)造法解題，已經(jīng)函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)知識．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

試求使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1
＞5-2t對一切正整數(shù)n都成立的最小自然數(shù)t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•開封一模）已知函數(shù)h（x）=ln（ax+b）在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=[h(x)]2-
x2
1+x
，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）求m的取值范圍，使不等式(1+
1
n
)n+m≤e對任意的n∈N*都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知函數(shù)f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）圖象上兩點(diǎn)．
（1）若x1+x2=1，求證：y1+y2為定值；
（2）設(shè)Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn關(guān)于n的解析式；
（3）對（2）中的Tn，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，當(dāng)n≥2時(shí)，an=4Tn+2，問是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…  +
1
2n+1
＜a-2007
1
3
對一切正整數(shù)n都成立的最小正整數(shù)a的值為______．

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