Question

已知橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為

3

，則橢圓的方程為（　�。�

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1
• B、

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1或

  x2

  12

  +

  y2

  3

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  3

  =1
• D、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1或

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，在正三角形中得到基本量a，b，c之間的關(guān)系，結(jié)合焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為a-c，故可求得基本量a，b的值，因?yàn)椴荒艽_定焦點(diǎn)的位置，故標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．

解答：解：根據(jù)短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，
則有b=

3

2

a，c=

1

2

a，
又∵焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為

3

，
∴a-c=

3

，
故a=2

3

，則b=3，
∴橢圓的方程為

x2

12

+

y2

9

=1或

x2

9

+

y2

12

=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程要注意以下一個(gè)步驟：（1）先確定焦點(diǎn)的位置，確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，（2）確定基本量a，b，c的值，（3）寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程．解題時(shí)要注意根據(jù)題意能否確定焦點(diǎn)的位置，如果不能確定一般分類(lèi)討論．屬于中檔題．