Question

如圖，設(shè)拋物線x²=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：設(shè)出A，B的坐標(biāo)，對(duì)拋物線的方程進(jìn)行求導(dǎo)，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直線方程和直線MB的方程，聯(lián)立求得2x₀=x₁+x₂．判斷出三者的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

解答：證明：由題意，設(shè)A（x1，

x12

2p

），B（x2，

x22

2p

）（x₁＜x₂），M（x₀，-2p）．
由x²=2py得y=

x2

2p

，得y′=

x

p

，
所以kMA=

x1

p

，kMB=

x2

p

．
因此直線MA的方程為y+2p=

x1

p

(x-x0)，直線MB的方程為y+2p=

x2

p

(x-x0)．
所以，

x12

2p

+2p=

x1

p

(x-x0)①，

x22

2p

+2p=

x2

p

(x-x0)②
由①、②得

x1+x2

2

=x1+x2-x0，因此x0=

x1+x2

2

，即2x₀=x₁+x₂．
所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生知識(shí)的靈活運(yùn)用的能力和基本的計(jì)算的能力，屬于中檔題．