Question

【題目】已知是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時(shí)有．

（1）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不要證明）；

（2）解不等式；

（3）求函數(shù)在[﹣m，m]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）遞增區(qū)間為（-∞，-2]，[2，+∞），遞減區(qū)間為[-2，2]；（2）[﹣3，﹣1]∪[，+∞）；（3）見解析

【解析】

（1）由函數(shù)的解析式結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得的單調(diào)區(qū)間；

（2）由函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的解析式，則有或，解不等式即可得答案；

（3）由（1）知函數(shù)在（﹣∞，﹣2）上為增函數(shù)，在（﹣2，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）為增函數(shù)；對(duì)m的值進(jìn)行分情況討論，求出函數(shù)的最值，即可得答案；

（1）根據(jù)題意，是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時(shí)有；則的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，[2，+∞），根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得遞減區(qū)間為[﹣2，0]；（﹣∞，﹣2]，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2]，[2，+∞），遞減區(qū)間為[-2，2]；

（2）是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時(shí)有，

設(shè)x＜0，則﹣x＞0，則，則，

綜合可得：，

若或，

解可得：﹣3≤x≤﹣1或，

則不等式的解集為[﹣3，﹣1]∪[，+∞）；

（3）由（1）的結(jié)論，，在區(qū)間（﹣∞，﹣2）上為增函數(shù)，在（﹣2，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）為增函數(shù)；

對(duì)于區(qū)間[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；

故當(dāng)0＜m≤2時(shí)，，，

當(dāng)2＜m≤4時(shí)，，，

當(dāng)m＞4時(shí)，，，