Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當，時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；

（2）設(shè)，且對任意的，，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導，利用導數(shù)判斷單調(diào)性即可求解；（2）首先求導可得是的極值點，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值即可比較大小.

試題解析：（1）當，時，，且，

，由，得；由，得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在區(qū)間僅有極大值點，故這個極大值點也是最大值點，

故函數(shù)在上的最大值是，

又，故，故函數(shù)在上的最小值為；（2）由題意，函數(shù)在處取到最小值，

又∵，設(shè)的兩個根為，，則，

不妨設(shè)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，

又∵，∴，即，即，

令，則，令，得，

當時，，在上單調(diào)遞增；

當時，，在上單調(diào)遞減；

∵，故，即，即.