Question

如圖，設(shè)F是橢圓的左焦點，直線l為對應(yīng)的準(zhǔn)線，直線l與x軸交于P點，線段MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN；
（Ⅲ）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，知，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意，當(dāng)AB的斜率不為0時，設(shè)AB方程為x=my-8，代入橢圓方程整理得：（3m²+4）y²-48my+144=0．△=576（m²-4），，．由此能夠證明對于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．
（3），當(dāng)且僅當(dāng)取到等號．由此能求出三角形△ABF面積的最大值．
解答：解：（1）∵|MN|=8，
∴a=4，
又∵|PM|=2|MF|，
∴，
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．  （3分）
（2）當(dāng)AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意，
當(dāng)AB的斜率不為0時，設(shè)AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得：（3m²+4）y²-48my+144=0．
△=576（m²-4），，．
則==，
而
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜合可知：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．（8分）
（3），
即：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時適合于△＞0的條件）取到等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是．       （13分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．