Question

已知某市2011年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房。預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8％，且每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米。
(1) 到哪一年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以2011年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬平方米?
(2) 到哪一年底，該年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％?
（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

(1) 2020年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米．
（2）到2016年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％． 

本試題主要是考查了等差數(shù)列在實(shí)際生活中的運(yùn)用。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用。
（1）分析出中低價(jià)房面積形成數(shù)列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數(shù)列，其中a₁=250，d=50，可知前n項(xiàng)和。結(jié)合不等式得到結(jié)論。
（2）根據(jù)題意可知新建住房面積形成數(shù)列{b_n}，由題意可知 {b_n}是等比數(shù)列，其中b₁=400，q=1．08，，然后借助于等比數(shù)列的知識(shí)解決。
(1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數(shù)列，其中a₁=250，d=50，則S_n= 250n+×50=25n²+225n， 令25n²+225n≥4750，即n²+9n-190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10．到 2020年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米．
（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{b_n}，由題意可知 {b_n}是等比數(shù)列，其中b₁=400，q=1．08，則b_n=400·(1．08)^n-1·0．85．由題意可知a_n>0．85b_n，有
250+ (n-1)·50>400·(1．08)^n-1·0．85，即20+ 5n>34(1．08)^n-1 ，即4+ n>6.8(1．08)^n-1
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6．到2016年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85％．