Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù),其中.

(I)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

(II)求函數(shù)的極值點(diǎn);

(III)證明對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立.

 

Answer 1

【答案】

(I) 在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。

(II) 時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)。

 (III) 對(duì)任意正整數(shù)，取得

【解析】解：(I) 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811025298435234/SYS201205181104097187329184_DA.files/image006.png">.

，

令，則在上遞增，在上遞減，

.

當(dāng)時(shí)，，

在上恒成立.

即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。

（II）分以下幾種情形討論：

（1）由（I）知當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)。

（3）當(dāng)時(shí)，解得兩個(gè)不同解，.

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)。

（III） 當(dāng)時(shí)，

令則

在上恒正，

在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有.

即當(dāng)時(shí)，有，

對(duì)任意正整數(shù)，取得