Question

已知拋物線C：與橢圓共焦點(diǎn)，

（Ⅰ）求的值和拋物線C的準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上位于軸下方的一點(diǎn)，直線是拋物線C在點(diǎn)P處的切線，問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且使？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在滿足條件的直線.

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�C：與橢圓共焦點(diǎn)，
所以拋物線C：的焦點(diǎn)為（1,0）       （1分）
所以得                                  （3分）
拋物線C的準(zhǔn)線方程為                        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線C：
因?yàn)?P為拋物線C上位于軸下方的一點(diǎn)，
所以點(diǎn)P滿足 ，                  
所以點(diǎn)處的切線的斜率為 
所以平行于的直線方程可設(shè)為             （6分）
解方程組，消去得：，（7分）
因?yàn)橹本�與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，
所以即， （8分）
設(shè)，則
， （10分）
所以線段AB的中點(diǎn)為，
線段AB的中垂線方程為    （12分）
由知點(diǎn)P在線段AB的中垂線上
所以   ，               （13分）
又得代人上式得 ，（14分）
而 且，所以無解.
從而不存在滿足條件的直線.                            （15分）
點(diǎn)評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求拋物線準(zhǔn)線方程時，主要運(yùn)用了橢圓、拋物線的定義及幾何性質(zhì)。（2）作為研究直線與拋物線相交時弦長的范圍問題，應(yīng)用韋達(dá)定理，建立了k的不等式，進(jìn)一步使問題得解。