Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上下焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）已知直線l的方向向量為（1，

2

），若直線l與橢圓交于P、Q兩點，O為坐標(biāo)原點，求△OPQ面積的最大值．
（3）過點T（1，0）作直線l與橢圓交于M、N兩點，與y軸交于點R，若

RM

=λ

MT

，

RN

=μ

NT

．證明：λ+μ為定值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)及參數(shù)a、b、c的關(guān)系即可得出；
（2）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式即可得出；
（3）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等即可證明．

解答：解：（1）由題意可得：
a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，
∴橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1．
（2）∵直線l的方向向量為（1，

2

），
∴可設(shè)直線l的方程為y=

2

x+m，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入橢圓方程并化簡得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8．（*）
∴x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

．
∴|PQ|=

[1+( 2 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

3

2

(16-2m2)．
又點O到PQ的距離為d=

|m|

3

，
∴S△OPQ=

1

2

|PQ|•d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)2m²=16-2m²，即m=±2時取等號，且滿足（*）式．
所以△OPQ面積的最大值為

2

．
（3）依題意知，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅）
則M、N滿足

y=k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

消去y化為（2+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
易知△＞0，∴x3+x4=

2k2

2+k2

，x3x4=

k2-4

2+k2

．
∵

RM

=λ

MT

，∴（x₃，y₃-y₅）=λ（1-x₃，y₃），
∵x₃≠1，∴λ=

x3

1-x3

，
同理μ=

x4

1-x4

．
∴λ+μ═

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

x3+x4-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

=-4．
∴λ+μ為定值-4．

點評：熟練掌握正方形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、向量相等是解題的關(guān)鍵．