Question

已知函數(shù)f(x)=2x-

a

2x

（a∈R），將y=f（x）的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，函數(shù)y=h（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=1對(duì)稱．
（Ⅰ）求函數(shù)y=g（x）和y=h（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在x∈[0，1]上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)F（x）=f（x）+h（x），已知F（x）＞2+3a對(duì)任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象的平移可得g（x）的解析式，由對(duì)稱區(qū)間的解析式的求解方法可得h（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)t=2^x，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t²-at-a=0在t∈[1，2]上有且僅有一個(gè)實(shí)根，由分類討論的思想可得答案；
（Ⅲ）設(shè)t=2^x，t∈（2，+∞）．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t²-4at+4a＞0對(duì)任意t∈（2，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)m(t)=

t2

t-1

，可得其最小值，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得g(x)=f(x-2)=2x-2-

a

2x-2

．
設(shè)y=h（x）的圖象上一點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y=1的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x，2-y），
由點(diǎn)Q在y=g（x）的圖象上，所以2x-2-

a

2x-2

=2-y，
于是y=2-2x-2+

a

2x-2

，即h(x)=2-2x-2+

a

2x-2

．
（Ⅱ）設(shè)t=2^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
由2x-

a

2x

=a得t-

a

t

=a，即t²-at-a=0在t∈[1，2]上有且僅有一個(gè)實(shí)根．
設(shè)k（t）=t²-at-a，對(duì)稱軸t=

a

2

．
若k（1）=0，則a=

1

2

，兩根為t1=1，t2=-

1

2

．適合題意；
若k（2）=0，則a=

4

3

，兩根為t1=2，t2=-

2

3

．適合題意．
若在（1，2）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，則k（1）•k（2）＜0①或    

△=0 1≤ a 2 ≤2

②
由①得 (1-2a)(4-3a)＜0?

1

2

＜a＜

4

3

；
由②得 

a2+4a=0 2≤a≤4

無(wú)解．
綜上可得a∈[

1

2

，

4

3

]．
（Ⅲ）F(x)=f(x)+h(x)=

3

4

•2x+

3a

2x

+2．
由F（x）＞2+3a，化簡(jiǎn)得

1

4

•2x+

a

2x

＞a，設(shè)t=2^x，t∈（2，+∞）．
即t²-4at+4a＞0對(duì)任意t∈（2，+∞）恒成立．
注意到t-1＞1，分離參數(shù)得a＜

t2

4(t-1)

對(duì)任意t∈（2，+∞）恒成立．
設(shè)m(t)=

t2

t-1

，t∈（2，+∞），即a＜

1

4

m(t)min，
而m(t)=

t2

t-1

=(t-1)+

1

t-1

+2．
可證m（t）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴m（t）＞m（2）=4，
∴a≤

1

4

•4=1，即a∈（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，以及恒成立問(wèn)題，涉及分類討論的思想，屬中檔題．