Question

在數(shù)列中，若 a1，a2 是正整數(shù)，且=|-|,=3，4，5，…，則稱||

為“絕對差數(shù)列”.

（Ⅰ）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；

（Ⅱ）若“絕對差數(shù)列”||中，=3, =0，數(shù)列||滿足=++

n=1，2，3，…，分雖判斷當(dāng)時(shí), 與的極限是否存在，如果存在，求出其極

限值；

（Ⅲ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).

Answer 1

（Ⅰ）解：（答案不惟一）

（Ⅱ）解：因?yàn)樵诮^對差數(shù)列中.所以自第項(xiàng)開始，該數(shù)列是

即自第項(xiàng)開始。每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 3，0，3. 所以當(dāng)時(shí)，的極限不存在.

當(dāng)時(shí), ,所以
（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下
     假設(shè)中沒有零項(xiàng)，由于,所以對于任意的，都有,從而
     當(dāng)時(shí), ;
    當(dāng) 時(shí),
    即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
    令    則
    由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng)，這與
    矛盾. 從而必有零項(xiàng).
    若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng)，記，則自第項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周                

期地取值  即

所以絕對差數(shù)列中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).