Question

【題目】如圖在三棱錐S﹣ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC= ，M為AB的中點．
（I）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求點B到平面SCM的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：如圖，取AC的中點D，連接DS，DB．∵SA=SC，BA=BC，
∴AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，
∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，
∴AC⊥SB．
（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAS⊥平面ABC，
∴SD⊥平面ABC．
如圖，過D作DE⊥CM于E，連接SE，則SE⊥CM，
∴在Rt△SDE中，SD=1，DE= ，
∴SE= ．CM是邊長為2的正△ABC的中線，∴CM= ．
∴ = ．
= ．
設點B到平面SCM的距離為h，
則由VB﹣SCM=VS﹣BCM得 ，
∴ ．

【解析】（Ⅰ）欲證AC⊥SB，取AC中點D，連接DS、DB，根據線面垂直的性質定理可知，只須證AC⊥SD且AC⊥DB，即得；（Ⅱ）設點B到平面SCM的距離為h，利用等體積法：VB﹣SCM=VS﹣CMB ， 即可求得點B到平面SCM的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．