Question

已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切．過點(diǎn)P（-4，0）作斜率為

1

4

的直線l，使得l和G交于A，B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)P在線段AB上，又滿足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求雙曲線G的漸近線的方程；
（2）求雙曲線G的方程；
（3）橢圓S的中心在原點(diǎn)，它的短軸是G的實(shí)軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程．

Answer 1

分析：（1）利用直線與圓相切時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心到直線的距離等于半徑即可求雙曲線G的漸近線的方程；
（2）利用漸近線設(shè)出雙曲線G的方程，把直線l的方程與雙曲線G的方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，再利用|PA|•|PB|=|PC|²．即可求出雙曲線G的方程；
（3）利用條件先設(shè)橢圓S的方程

x2

28

+

y2

a2

=1（a＞2

7

），再設(shè)垂直于l的平行弦的兩端點(diǎn)以及中點(diǎn)的坐標(biāo)，把兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓S的方程方程，用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)所在軌跡，再與題中條件相結(jié)合即可求橢圓S的方程．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y=kx，
則由漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切可得

|5k|

k2+1

=

5

，
所以k=±

1

2

，即雙曲線G的漸近線的方程為y=±

1

2

x．（3分）
（2）由（1）可設(shè)雙曲線G的方程為x²-4y²=m，
把直線l的方程y=

1

4

（x+4）代入雙曲線方程，
整理得3x²-8x-16-4m=0，
則x_A+x_B=

8

3

，x_Ax_B=-

16+4m

3

．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|²，P、A、B、C共線且P在線段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16，
整理得4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．
將（*）代入上式得m=28，
∴雙曲線的方程為

x2

28

-

y2

7

=1．（8分）
（3）由題可設(shè)橢圓S的方程為

x2

28

+

y2

a2

=1（a＞2

7

），
設(shè)垂直于l的平行弦的兩端點(diǎn)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則

x 2 1

28

+

y   2 1

a2

=1，

x   2 2

28

+

y 2 2

a2

=1，
兩式作差得

(x1-x2)(x1+x2)

28

+

(y1-y2)(y1+y2)

a2

=0．
由于

y1-y2

x1-x2

=-4，x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
所以

x0

28

-

4y0

a2

=0，
所以，垂直于l的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線

x

28

-

4y

a2

=0截在橢圓S內(nèi)的部分．
又由已知，這個(gè)軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，所以

a2

112

=

1

2

，即a²=56，
故橢圓S的方程為

x2

28

+

y2

56

=1．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法問題．因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，所以在設(shè)方程之前一定要先看焦點(diǎn)所在位置．