Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），θ∈[0，?π]，向量

b

=（

3

，-1）
（1）若

a

⊥

b

，求θ的值?；
（2）若|2

a

-

b

|＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直其數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，求出tanθ的值，由θ的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出θ的度數(shù)；
（2）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算出2

a

-

b

的坐標(biāo)，利用向量模的計(jì)算公式表示出|2

a

-

b

|²，整理后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由θ的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而得出|2

a

-

b

|的最大值，根據(jù)不等式恒成立時(shí)滿足的條件，令m大于|2

a

-

b

|的最大值即可求出m的范圍．

解答：解：（1）∵

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（

3

，-1），

a

⊥

b

，
∴

3

cosθ-sinθ=0，變形得：tanθ=

3

，
又θ∈[0，π]，
則θ=

π

3

；
（2）∵2

a

-

b

=（2cosθ-

3

，2sinθ+1），
∴|2

a

-

b

|²=（2cosθ-

3

）²+（2sinθ+1）²=8+8（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）=8+8sin（θ-

π

3

），
又θ∈[0，π]，
∴θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴-

3

2

≤sin（θ-

π

3

）≤1，
∴|2

a

-

b

|²的最大值為16，
∴|2

a

-

b

|的最大值為4，
又|2

a

-

b

|＜m恒成立，
所以m＞4．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．