已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）若方程有唯一解，試求實(shí)數(shù)的值.

 

【答案】

（1）    （2）實(shí)數(shù)的值為

【解析】(1)先對(duì)求導(dǎo)，然后求出x=1的導(dǎo)數(shù)，可寫出直線的點(diǎn)斜式方程化成一般式方程即可.

（2）本題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上同時(shí)恒成立問題解決即可。

(3) 本題的解題思路原方程等價(jià)于，令，則原方程即為。因?yàn)楫?dāng)時(shí)原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖像在軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn).然后利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的圖像從圖像上觀察y=m與y=h(x)何時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)即可。

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916221536011892/SYS201206191625250789626416_DA.files/image014.png">，所以切線的斜率.又知，則代入點(diǎn)斜式方程有.即.        ------------3分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916221536011892/SYS201206191625250789626416_DA.files/image018.png">，又（定義域），

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

又，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

欲使函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù)，

則，解之得. ------------8分

（3）原方程等價(jià)于，令，則原方程即為。

因?yàn)楫?dāng)時(shí)原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖像在軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)    --9分

又，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，從而當(dāng)時(shí)原方程有唯一解的充要條件是，

所以實(shí)數(shù)的值為.   

 

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x
-1，則f（x）的最小值是（　�。�

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x+1
，  x
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log2x
，x＞0
，
則函數(shù)y=f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

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x
．
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（2）如果數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=[1+
1
n2(n+1)2
]an+
1
4n
，試證明：當(dāng)n≥2時(shí)，4≤an＜4e
3
4
．

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x2+1
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（2）當(dāng)a≥1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

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