Question

圓x²+y²=1與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求AB所在的直線方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A做兩條互相垂直的直線分別與圓交于P，Q兩點(diǎn)，試求△PAQ面積的最大值，并指出此時(shí)PQ所在的直線方程．

Answer 1

解：（I）由題可知A（1，0），B（0，1）…（1分），所以AB所在的直線方程y=-x+1…（3分）
（II）解法1：由題可知直線AP，AQ的斜率都存在，且不能為0，…（4分）
設(shè)AP的斜率為k，則AQ的斜率為，AP的直線方程為kx-y-k=0
所以，從而：…（6分）
同理得：，所以…（8分）
（當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號(hào)成立）
所以△PAQ面積的最大值為1，此時(shí)PQ的方程為x=0…（10分）
解法2：由題可知∠PAQ始終為直角，所以PQ必通過圓心，從而|PQ|=2
當(dāng)A點(diǎn)距離PQ最遠(yuǎn)時(shí)，即△PAQ為等腰直角三角形時(shí)，
△PAQ面積取最大值1
此時(shí)PQ的方程為x=0
分析：（I）由已知圓x²+y²=1與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，我們易求出A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)式方程，整理后即可得到AB所在的直線方程；
（Ⅱ）解法一：由題可知直線AP，AQ的斜率都存在，且不能為0，分別設(shè)AP的斜率為k，則AQ的斜率為，則我們易求出AP及AQ的長(zhǎng)（含參數(shù)k），代入三角形面積公式，利用基本不等式式，即可得到答案．
解法二：若∠PAQ始終為直角，則PQ必為圓的直徑，當(dāng)A點(diǎn)距離PQ最遠(yuǎn)時(shí)，即△PAQ為等腰直角三角形時(shí)，△PAQ面積最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，（1）的關(guān)鍵是求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）的關(guān)鍵關(guān)鍵法一是寫出△PAQ面積的表達(dá)式，法二是得到PQ是圓的直徑．