Question

已知函數f（x）=|x+2a|，g（x）=x-4，對任意的實數x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，則實數a的取值范圍

a≥-2

．

Answer 1

分析：把函數f（x）和g（x）的解析式代入不等式，引入輔助函數后去絕對值，然后求出函數的最小值，由最小值大于等于0求解a的取值范圍．

解答：解：對任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，等價于f（x）-g（x）≥0恒成立．
令h（x）=f（x）-g（x）=|x+2a|-x+4．
則當x＜-2a時，h（x）=-2x-2a+4；當x≥-2a時，h（x）=2a+4．
當x＜-2a時，h（x）是減函數，最小值在-2a處取得，h（-2a）=2a+4．
∴要求h（x）≥0恒成立，則2a+4≥0，解得a≥-2．
綜上所述，a的取值范圍為a≥-2．
故答案為a≥-2．

點評：本題考查了函數恒成立問題，訓練了函數構造法，考查了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，是中檔題．