Question

以下結(jié)論正確的有

②③⑤

（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①函數(shù)y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)；
②對(duì)于函數(shù)f（x）=-x²+1，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)；
③已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，2

3

5

)，則當(dāng)x＞1時(shí)，該函數(shù)的圖象始終在直線y=x的下方；
④奇函數(shù)的圖象必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
⑤函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜1，則f（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：①函數(shù)y=

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上分別是減函數(shù)，在（-∞，0）∪（0，+∞）上沒(méi)有單調(diào)性；
②f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，利用作差法能夠比較

f(x1)+f(x2)

2

和f（

x1+x2

2

）的大�。�
③設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^a，由冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，2

3

5

)，知f（x）=x 

3

5

，由此能求出結(jié)果；
④由奇函數(shù)的性質(zhì)，知奇函數(shù)的圖象不一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
⑤根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用定義法能夠判斷f（x）R上的單調(diào)性．

解答：解：①函數(shù)y=

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上分別是減函數(shù)，
但在（-∞，0）∪（0，+∞）上沒(méi)有單調(diào)性，故①不正確；
②∵f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，
∴

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）
=

-x12+1-x22+1

2

-[-（

x1+x2

2

）²+1]
=

x12+2x1x2+x22

4

-

x12+x22

2

＜0，
∴

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，故②正確；
③設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^a，
∵冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，2

3

5

)，∴f（2）=2

3

5

，故f（x）=x 

3

5

，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，該函數(shù)的圖象始終在直線y=x的下方，故③正確；
④由奇函數(shù)的性質(zhì)，知奇函數(shù)的圖象不一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故④不正確；
⑤∵函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜1，
∴令x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=f（x₂+（x₁-x₂））-f（x₂）
=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，
由于當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＜1，而x₁-x₂＜1，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在R上為增函數(shù)．故⑤正確．
故答案為：②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意反比例函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、奇函數(shù)、抽象函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．