Question

求值：sin6°+sin78°+sin222°+sin294°=-

1

2

．

Answer 1

分析：法一：由于正五邊形內(nèi)角都是108°，其外角是72°，故各邊傾斜角大小相差72°，由此可構(gòu)造邊長為1的正五邊形ABCDE，使得

AB

=（cos6°，sin6°），則依次可得

BC

=（cos78°，sin78°），

CD

=（cos150°，sin150°），

DE

=（cos222°，sin222°），

EA

=（cos294°，sin294°），再由向量加法知

AB

+

BC

+

CD

+

DE

+

EA

=

0

，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出sin6°+sin78°+sin222°+sin294°=-sin150°，易求出代數(shù)式的值；
法二：由題意，對四個(gè)數(shù)分為兩組，規(guī)律是兩角和的一半是150°，再由和化積公式，二倍角進(jìn)行恒等變形，即可求出代數(shù)式的值

解答：解：（法一）如圖，構(gòu)造邊長為1的正五邊形ABCDE，使得

AB

=（cos6°，sin6°），則依次可得

BC

=（cos78°，sin78°），

CD

=（cos150°，sin150°），

DE

=（cos222°，sin222°），

EA

=（cos294°，sin294°），
由于

AB

+

BC

+

CD

+

DE

+

EA

=

0

，
所以sin6°+sin78°+sin150°+sin222°+sin294°=0，
從而sin6°+sin78°+sin222°+sin294°=-sin150°=-

1

2

．
解2：原式=（sin6°+sin294°）+（sin78°+sin222°）=2sin150°cos144°+2sin150°cos72°=2sin150°（cos144°+cos72°）=2cos108°cos36°=-2sin18°cos36°=-

sin36°

cos18°

•cos36°=-

sin72°

2cos18°

=-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，解法一解題的關(guān)鍵是由題設(shè)條件及向量的加法幾何意義構(gòu)造出正五邊形模型，此方法巧妙地利用了代數(shù)式中各角差是72°，技巧性強(qiáng)，考查了構(gòu)造的能力及轉(zhuǎn)化的思想．解法二做題的關(guān)鍵是熟練掌握理解三角恒等變換公式，三角函數(shù)恒等變換公式較多，熟練記憶才能靈活運(yùn)用．解題的難點(diǎn)是觀察出公式變形的方向，組合出特殊角是變形有效與否的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)．