【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣bx+lnx,(a,b∈R).
(1)若a=1,b=3,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若b=0時,不等式f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=1,b>時,記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的兩個零點是x1和x2(x1<x2),求證:f(x1)﹣f(x2)>﹣3ln2.
【答案】(1)f(x)在(0,),(1,+∞)遞增;(2)a≤﹣;(3)見解析
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為a≤﹣在區(qū)間[1,+∞)恒成立,令h(x)=﹣,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(3)由題意得x1,x2(x1<x2)是方程2x2﹣bx+1=0的兩個根,記g(x)=2x2﹣bx+1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
(1)由題意得:x>0,a=1,b=3時,f(x)=x2﹣3x+lnx,
,令f(x)>0,解得:0<x<或x>1,
故f(x)在(0,),(1,+∞)遞增;
(2)b=0時,f(x)=ax2+lnx,不等式f(x)≤0在[1,+∞)恒成立,
即a≤﹣在區(qū)間[1,+∞)恒成立,令h(x)=﹣,則,
令h(x)>0,解得:x>,令h(x)<0,解得:1<x<,
故f(x)在(1,)遞減,在(,+∞)遞增,故h(x)min=h()=﹣,
故a≤﹣;
(3)a=1時,f(x)=x2﹣bx+lnx,,(x>0),
由題意得x1,x2(x1<x2)是方程2x2﹣bx+1=0的兩個根,記g(x)=2x2﹣bx+1,則
,g(2)=9﹣2b<0,
∴x1∈(,),x2∈(2,+∞),且f(x)在[x1,x2]遞減,
故f(x1)﹣f(x2)>f()﹣f(2)=﹣3ln2,
∵b>,∴f(x1)﹣f(x2)>﹣3ln2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).
若,求函數(shù)的極值;
若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計算圓的周長,面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值,這個結(jié)果是當(dāng)時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時,某同學(xué)利用計算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點,計算得出該點落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是
A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系
B. 回歸直線過樣本點的中心(,)
C. 若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg
D. 若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P—ABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB=BC,PA⊥PC.點E,F,O分別為線段PA,PB,AC的中點,點G是線段CO的中點.
(1)求證:FG∥平面EBO;
(2)求證:PA⊥BE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線距離為.
(1)若點,且點在拋物線上,求的最小值;
(2)若過點的直線與圓相切,且與拋物線有兩個不同交點,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的方程為,若拋物線過點,且以圓0的切線為準(zhǔn)線,為拋物線的焦點,點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點作直線交曲線與兩點,關(guān)于軸對稱,請問:直線是否過軸上的定點,如果不過請說明理由,如果過定點,請求出定點的坐標(biāo)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,短軸長為,離心率為.
Ⅰ求橢圓C的方程;
Ⅱ若過點的直線與橢圓C交于A,B兩點,且P點平分線段AB,求直線AB的方程;
Ⅲ一條動直線l與橢圓C交于不同兩點M,N,O為坐標(biāo)原點,的面積為求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全國第五個“扶貧日”到來之前,某省開展“精準(zhǔn)扶貧,攜手同行”的主題活動,某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶數(shù)量.甲鎮(zhèn)有基層干部60人,乙鎮(zhèn)有基層干部60人,丙鎮(zhèn)有基層干部80人,每人都走訪了若干貧困戶,按照分層抽樣,從甲、乙、丙三鎮(zhèn)共選20名基層干部,統(tǒng)計他們走訪貧困戶的數(shù)量,并將走訪數(shù)量分成,,,,5組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這20人中有多少人來自丙鎮(zhèn),并估計甲、乙、丙三鎮(zhèn)的基層干部走訪貧困戶戶數(shù)的中位數(shù)(精確到整數(shù)位);
(2)如果把走訪貧困戶達(dá)到或超過35戶視為工作出色,求選出的20名基層干部中工作出色的人數(shù),并從中選2人做交流發(fā)言,求這2人中至少有一人走訪的貧困戶在的概率.
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