Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的方程為， 為其焦點(diǎn)，過(guò)不在拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)作此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)， 為切點(diǎn).且.

（Ⅰ）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；

（Ⅱ）直線(xiàn)與曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為，求的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)， ，由消去得，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義可得這兩條切線(xiàn)的斜率分別為， .由這兩切線(xiàn)垂直得，從而可得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)，則， ， ， ， ，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，

以為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程分別為， .

由消去得.

則， .

這兩條切線(xiàn)的斜率分別為， .

由這兩切線(xiàn)垂直得，得.

所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

（Ⅱ）設(shè)，則， ，

當(dāng)時(shí)，則，可得，

當(dāng)時(shí)，則， ， ，

同樣可得.

所以.

由.

所以 .

令， .

.

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以.

（或 當(dāng)時(shí)取等號(hào).）