Question

小明家決定投資21000元在自家房屋旁建 一個形狀為長方體的車庫，高度恒定．車庫的一個側(cè)面利用已有的舊墻不花錢，正面用鐵柵欄，每米造價500元，另一側(cè)面與后面用磚砌墻，每米造價400元，頂部每平方米造價600元．請你幫小明家算一算：
（Ⅰ） 車庫底面積S的最大允許值是多少？
（Ⅱ）為使S達(dá)到最大，而實際投資又不超過預(yù)算，那么正面應(yīng)設(shè)計多少米？

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)正面設(shè)計為x米，側(cè)面為y米，依題意得500x+400（x+y）+600xy=21000（2分）
即（當(dāng)9x=4y時取等號）
又S=xy，∴，，
解得，即S≤25；因而S的最大允許值為25平方米． （8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)S=xy=25時，9x=4y，解得，
即上面鐵柵欄的寬度為米． （12分）
分析：（1）設(shè)正面設(shè)計為x米，側(cè)面為y米，依題意得500x+400（x+y）+600xy=21000，由，得 的取值范圍，即可求出S=xy的取值范圍；
（2）由xy=25，9x=4y，解得x，y的值即可求出正面應(yīng)設(shè)計多少米．
點評：本題考查了長方體模型的應(yīng)用，在求面積S=xy最值時，利用基本不等式a+b≥2 （a＞0，b＞0）．