Question

設(shè)x＞-1，函數(shù)y=

(x+5)(x+2)

x+1

的最小值是

9

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的形式，換元：設(shè)t=x+1（t＞0），將原函數(shù)變?yōu)?span id="kcmsssi" class="MathJye">f(t)=(t+

5

t

) +5，再根據(jù)t為正數(shù)，可以用基本不等式求出f（t）的最小值，最后用等號(hào)成立的條件得出相應(yīng)的x的值，從而得出原函數(shù)的最小值2

5

+5是正確的．

解答：解：設(shè)t=x+1（t＞0），則
y=f(t)=

(x+5)(x+2)

x+1

=

(t+4)(t+1)

t

整理得：f(t)=(t+

4

t

) +5
∵t＞0
∴t+

4

t

≥ 2

t• 4 t

所以f(t)=(t+

4

t

) +5≥2

4

+5=9
當(dāng)且僅當(dāng)t=

4

t

=2時(shí)，函數(shù)有最小值
此時(shí)x=1
因此函數(shù)y=

(x+5)(x+2)

x+1

當(dāng)x=1時(shí)有最小值為9
故答案為：9

點(diǎn)評(píng)：本題以分式函數(shù)為載體，考查了函數(shù)的最值及其應(yīng)用，屬于中檔題．采用換元法、利用基本不等式來(lái)求解是解決本題的關(guān)鍵，用這個(gè)方法時(shí)同學(xué)們應(yīng)該注意等號(hào)成立的條件，以免出錯(cuò)．