Question

已知橢圓C的兩焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），并且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1，證明當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一由橢圓的定義知2a=|MF₁|+|MF₂|=4，得到a=2，又c=1根據(jù)a，b，c的關(guān)系b²=a²-c²=3故得到，進(jìn)而可得答案；
解法二利用待定系數(shù)法設(shè)橢圓方程為，將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入得又a²=b²+1所以可得a²=4，b²=3，進(jìn)而可得答案；
（2）點(diǎn)P在橢圓上即所以，所以圓心到直線的距離小于半徑r，所以直線l與圓O相交．所以弦長(zhǎng)l==又0≤m²≤4所以．
解答：解：（1）解法一：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由橢圓的定義知：
得
故C的方程為．
解法二：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
依題意，a²=b²+1①，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得②
由①②解得a²=4，b²=3，故C的方程為．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，所以，則，
從而圓心O到直線l：mx+ny=1的距離，
所以直線l與圓O相交．
直線l被圓O所截的弦長(zhǎng)為=
∵，∴．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題關(guān)鍵是熟練掌握橢圓中的相關(guān)數(shù)值，靈活運(yùn)用定義，待定系數(shù)等方法解決相關(guān)問題，利用直線與圓的位置關(guān)系求弦長(zhǎng)的范圍．