是否存在常數(shù)a，b，c，使得等式

1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）對(duì)一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論.

解：假設(shè)存在常數(shù)a，b，c，使得等式成立.

則當(dāng)n=1，2，3時(shí)，有

1·22=（a+b+c），1·22+2·32=（4a+2b+c），1·22+2·32+3·42=9a+3b+c.

得a=3，b=11，c=10.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1·22+2·32+…+n（n+1）2=·（3n2+11n+10）.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1·22=4，右邊=4，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即

1·22+2·32+…+k（k+1）2=·（3k2+11k+10）.

當(dāng)n=k+1時(shí)

1·22+2·32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2

=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）

=［3（k+1）2+11（k+1）+10］,

即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.

由（1）（2）可知，對(duì)任何正整數(shù)n，等式都成立.

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3
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π
2
]．
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