Question

甲有一個箱子，里面放有x個紅球，y個白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一個箱子，里面放有2個紅球，1個白球，1個黃球．現(xiàn)在甲從箱子任取2個球，乙從箱子里在取1個球，若取出的3個球顏色全不相同，則甲獲勝．
（1）試問甲如何安排箱子里兩種顏色的個數(shù)，才能使自己獲勝的概率最大？
（2）在（1）的條件下，求取出的3個球中紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)甲從箱子任取2個球，乙從箱子里在取1個球，若取出的3個球顏色全不相同，則甲獲勝，可得甲獲勝的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；
（2）由題意知取出的3個球中紅球個數(shù)ξ的取值為1，2，3，4，分別求出其發(fā)生的概率，進(jìn)而求出次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望

解答：解：（1）由題意，P=

C 1 x C 1 y C 1 1

C 2 4 C 1 4

=

xy

24

；
∴

xy

24

≤

( x+y  2 )2

24

=

1

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)“=”成立
所以當(dāng)紅球與白球各2個時(shí)甲獲勝的概率最大
（2）取出的3個球中紅球個數(shù)ξ=0，1，2，3
P(ξ=0)=

C 2 2 C 1 2

C 1 4 C 2 4

=

1

12

；P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2 + C 2 2 C 1 2

C 1 4 C 2 4

=

5

12

P(ξ=2)=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 2 4

=

5

12

，P(ξ=3)=

C 2 2 C 1 2

C 1 4 C 2 4

=

1

12

所以Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

點(diǎn)評：本題以摸球?yàn)樗夭模�考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，搞清變量的所有取值．