Question

（1）求經過點A（5，2），B（3，2），圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程；
（2）設圓上的點A（2，3）關于直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為2

2

，求此圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設圓心O（a，b），由圓經過點A（5，2），B（3，2），圓心在直線2x-y-3=0上，得到

(a-5)2+(b-2)2 = (a-3)2+(b-2)2 2a-b-3=0

，由此能求出圓心坐標和圓半徑，從而得到圓的方程．
（2）由圓上的點A（2，3）關于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上，知圓心在直線x+2y=0上，設圓心為（2a，-a），則R²=（2a-2）²+（-a-3）²，由圓與直線x-y+1=0相交的弦長為2

2

，知圓心到直線l得距離d=

|3a+1|

2

=

R2-2

，由此能求出圓的方程．

解答：解：（1）設圓心O（a，b），
∵圓經過點A（5，2），B（3，2），圓心在直線2x-y-3=0上，
∴

(a-5)2+(b-2)2 = (a-3)2+(b-2)2 2a-b-3=0

，
解得a=4，b=5，∴圓心O（4，5），
∴圓半徑r=|AO|=

(5-4)2+(2-5)2

=

10

，
∴圓的方程為（x-4）²+（y-5）²=10．
（2）∵圓上的點A（2，3）關于直線x+2y=0的對稱點仍在圓上，
∴圓心在直線x+2y=0上
設圓心為（2a，-a），則R²=（2a-2）²+（-a-3）²，
∵圓與直線x-y+1=0相交的弦長為2

2

∴圓心到直線l得距離d=

|3a+1|

2

=

R2-2

，
經轉化，得（a-7）（a-3）=0
∴a=3或a=7，
經檢驗都成立
故圓方程為（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244．

點評：本題考查圓的方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．