Question

一個袋子內裝有若干個黑球，3個白球，2個紅球（所有的球除顏色外其它均相同），從中一次性任取2個球，每取得一個黑球得0分，每取一個白球得1分，每取一個紅球得2分，用隨機變量ξ表示取2個球的總得分，已知得0分的概率為

1

6

．
（Ⅰ）求袋子內黑球的個數；
（Ⅱ）求ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析：（I）由題意設袋中黑球的個數為n個，由于p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，化簡即可得到n的方程求解即可；
（II）由題意由于隨機變量ξ表示取2個球的總得分，根據題意可以得到ξ=0，1，2，3，4，利用隨機變量的定義及等可能事件的概率公式求出每一個值下的概率，并列出其分布列，有期望的定義即可求解．

解答：解：（Ⅰ）設袋中黑球的個數為n個，p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，化簡得：n²-3n-4=0，解得n=4 或n=-1 （舍去），即袋子中有4個黑球
（Ⅱ）依題意：ξ=0，1，2，3，4 p(ξ=0)=

1

6

，p(ξ=1)=

C 1 4 • C 1 3

C 2 9

=

1

3

，p(ξ=2)=

C 2 3 + C 1 2 • C 1 4

C 2 9

=

11

36

，p(ξ=3)=

C 1 3 • C 1 2

C 2 9

=

1

6

，p(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

ξ	0	1	2	3	4
P	1 6	1 3	11 36	1 6	1 36

∴ξ 的期望為 Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

點評：此題考查了學生讓那個對于題意的正確理解的能力，還考查了等可能事件的概率公式及離散型隨機變量的定義與分布列，并應用分布列求出隨機變量的期望．