Question

（（本小題滿分12分）

如圖，已知在直四棱柱中，

，，．

   （1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

解法一：

（1）設(shè)是的中點，連結(jié)，則四邊形為正方形，

．故，，，，即．

又，平面，…………6分

（2）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點, 連結(jié)，又，則．

取的中點，連結(jié)，則,.

為二面角的平面角．

連結(jié)，在中，，

，

取的中點，連結(jié)，，

在中，，，．

．

二面角的余弦值為．…………………………12分

解法二：

（1）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，,.

，,

又因為 所以，平面.…6分

 

（2）設(shè)為平面的一個法向量．

由，，

得    取，則．

又，，設(shè)為平面的一個法向量，

由，，得取，則，

設(shè)與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

.…………12分

 

【解析】略