Question

【題目】如圖，在正方形中，點是的中點，點是的中點，將分別沿折起，使兩點重合于，連接.

（1）求證：；

（2）點是上一點，若平面，則為何值？并說明理由.

（3）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2)，理由見詳解；（3）.

【解析】

（1）通過證明EF平面PBD，即可證明；

（2）通過線面平行，將問題轉(zhuǎn)化為線線平行，在平面圖形中根據(jù)線段比例進而求解；

（3）根據(jù)（1）（2）所得，找到二面角的平面角，然后再進行求解.

（1）證明：因為四邊形ABCD為正方形，

故DAAE，DC，即折疊后的DP

又因為平面PEF，平面PEF，

故DP平面PEF，又平面PEF，故.

在正方形ABCD中，容易知EF，

又平面PBD，平面PBD，

故EF平面PBD，又平面PBD

故，即證.

（2）連接BD交EF于O，連接OM，作圖如下

因為//平面，平面PBD，平面PBD平面=MO

故//MO

在中，由，以及E、F分別是正方形ABCD兩邊的中點，

故可得即為所求.

（3）過M作MH垂直于BD，垂足為H，連接OP，作圖如下：

由（1）可知：EF平面PBD，因為MH平面PBD，故EF

又，平面EDF，BD平面EDF，故MH平面EDF，

又因為BDEF，故即為所求二面角的平面角.

設(shè)正方形ABCD的邊長為4，因為，故PM=1，

故在中，PM=1，EP=2，根據(jù)勾股定理可得ME

同理：在中，PM=1，PF=2，根據(jù)勾股定理可得MF=

又EF=

故在等腰三角形EMF中，因為O是EF的中點，故MO=.

由（1）可知，PD平面PEF，又OP平面PEF，故PDOP，

則，故可得，

又在中，PE=PF=2，EF=2，O為斜邊EF上的中點，故OP=，

又因為MD=3，OD=

故可解得MH=

故在中，MH=1，MO=，由勾股定理可得OH=

故.

故二面角的余弦值為.