Question

設函數(shù)。
（1）設n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（2）設n為偶數(shù)，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當b=1，c=-1，n≥2時，f（x）=xⁿ+x-1
∵f（）f（1）=（-）×1＜0，
∴f（x）在區(qū)間內(nèi)存在零點，
又當x∈（，1）時，f′（x）=nx^n-1+1＞0，
∴f（x）在（，1）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；
（2）由題意知，即
由圖象知b+3c在點（0，-2）取到最小值-6，在點（0，0）處取到最大值0，
∴b+3c的最小值為-6，最大值為0。
（3）當n=2時，f（x）=x²+bx+c，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，
有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，等價于在[-1，1]上最大值與最小值之差M≤4，據(jù)此分類討論如下：
（i）當＞1，即|b|＞2，M=|f（1）-f（-1）|=2|b|＞4，與題設矛盾；
（ii）當-1≤-＜0，即0＜b≤2時，M=f（1）-f（-）=≤4恒成立，
（iii）當0≤-≤1，即-2≤b≤0時，M=f（-1）-f（-）=≤4恒成立，
綜上所述，-2≤b≤2。