22．?dāng)?shù)列{an}滿足.

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；

（Ⅱ）已知不等式，其中無(wú)理數(shù)e=2.71828….

22．

   （Ⅰ）證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，，不等式成立.

   （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即

那么.  這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)不等式成立.

根據(jù)（1）、（2）可知：成立.

（Ⅱ）證法一：

由遞推公式及（Ⅰ）的結(jié)論有

 

兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得

 

故 

上式從1到求和可得

即

（Ⅱ）證法二：

由數(shù)學(xué)歸納法易證成立，故

令

取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 

   上式從2到n求和得 

因

故成立.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•西城區(qū)二模）數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=
n-λn+1
an，其中λ∈R，n=1，2，…．給出下列命題：
①?λ∈R，對(duì)于任意i∈N*，ai＞0；
②?λ∈R，對(duì)于任意i≥2（i∈N*），aiai+1＜0；
③?λ∈R，m∈N*，當(dāng)i＞m（i∈N*）時(shí)總有ai＜0．
其中正確的命題是
①③
①③
．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，數(shù)列{an}滿足a1=0，且對(duì)任意n∈N*，an=f（n），則f（2010）=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}滿足an=3an-1+3n-1（n∈N*，n≥2），
已知a3=95．
（1）求a1，a2；
（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得bn=
13n
(an+t)(n∈N*)，且{bn}為等差數(shù)列？若存在，則求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•綿陽(yáng)一模）已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）．又?jǐn)?shù)列{an}滿足，a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
．
（I ）證明：f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)
（ II ）求f（an）的表達(dá)式；
（III）設(shè)bn=-
1
2f(an)
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，試問(wèn)是否存在正整數(shù)m，n，使得
4Tn-m
4Tn+1-m
＜
1
2
成立？若存在，求出這樣的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f(x)=
1
f(-x)
，且f（0）=1，f（x）在R上為減函數(shù)；若數(shù)列{an}滿足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)；
（1）求{an}通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(loga+1x-logax+1)對(duì)不小于2的正整數(shù)n恒成立，求x的取值范圍．

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