在一容器內裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液
1
4
a升，攪勻后再倒出溶液
1
4
a升，這叫做一次操作．
（1）設第n次操作后容器內溶液的濃度為bn（每次注入的溶液都是p%），計算b1，b2，b3，并歸納出bn的計算公式（不要求證明）
（2）設p＞q＞r，且p-r=2（p-q）要使容器內溶液濃度不小于q%，問至少要進行上述操作多少次？（已知lg2=0.3010）
分析：（1）由b1=
a×
r
100
+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
(
4
5
r+
1
5
p)，b2=
a•b1+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
[(
4
5
)2r+
1
5
p+
4
52
p]，b3=
a•b2+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
[(
4
5
)3r+
1
5
p+
4
52
p+
42
53
p]，能求出bn的計算公式．
（2）bn=
r
100
(
4
5
)  n+
p
500
[1+
4
5
+(
4
5
)2+…+(
4
5
)n-1]=
r
100
(
4
5
)n+
p
500
•
1-(
4
5
)n
1-
4
5
=
p
100
-
1
100
(
4
5
)n(p-r)，依題意有：
p
100
-
1
100
(
4
5
)n(p-r)≥
q
100
，由此能求出至少要注入倒出4次．
解答：解：（1）b1=
a×
r
100
+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
(
4
5
r+
1
5
p)，
b2=
a•b1+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
[(
4
5
)2r+
1
5
p+
4
52
p]，
b3=
a•b2+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
[(
4
5
)3r+
1
5
p+
4
52
p+
42
53
p]，
∴bn=
1
100
[(
4
5
)nr+
1
5
p+
4
52
p+…+
4n-1
5n
p]．
（2）bn=
r
100
(
4
5
)  n+
p
500
[1+
4
5
+(
4
5
)2+…+(
4
5
)n-1]
=
r
100
(
4
5
)n+
p
500
•
1-(
4
5
)n
1-
4
5
=
p
100
-
1
100
(
4
5
)n(p-r)，
依題意有：
p
100
-
1
100
(
4
5
)n(p-r)≥
q
100
，
∵p-r=2（p-q），
∴上式化簡得：(
5
4
)n≥2，
∴n≥
lg2
1-3lg2
=
0.3010
1-3×0.3010
≈3.103，
∴至少要注入倒出4次．
點評：本題考查數(shù)列在生產實際中的具體應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
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在一容器內裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液a升，攪勻后再倒出溶液a升，這叫一次操作，設第n次操作后容器內溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%)，計算b1,b2,b3,并歸納出bn的計算公式.

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在一容器內裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液a升，攪勻后再倒出溶液a升，這叫一次操作，設第n次操作后容器內溶液的濃度為bn，計算b1、b2、b3，并歸納出計算公式．

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（2）設p＞q＞r，且p-r=2（p-q）要使容器內溶液濃度不小于q%，問至少要進行上述操作多少次？（已知lg2=0.3010）

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