Question

若數列{a_n}滿足a_n+T=a_n，其中T為正整數，則稱數列{a_n}為周期數列，其中T為數列{a_n}的周期．
（I）設{b_n}是周期為7的數列，其中b₁，b₂，…，b₇是等差數列，且b₂=3，b₃=9，求b₂₀₁₂；
（II）設{c_n}是周期為7的數列，其中c₁，c₂，…，c₇是等比數列，且c₁=1，c₁₁=8，對（I）中的數列{b_n}，記S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n，若S_n＞2011，求n的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵b₂=3，b₅=9，∴d=，
∴b_n=b₂+（n-2）×2=2n-1（n≤7），
∴b₂₀₁₂=b_287×7+3=b₃=5．
（Ⅱ）∵c₁=1，c₄=8，∴q³=，q=2，
當n≤7時，S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）2 ^n-1 ①
2S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2 ^n-1 ②
①-②得
-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
=1+-（2n-1）2ⁿ
=-3-（2n-3）2ⁿ
∴S_n=3+（2n-3）2ⁿ（n≤7）…（10分）
由S₇=1411，S₆=579，知S₁₃=S₇+S₆=1411+579=1990＜2011，S₁₄=2S₇=2×1411=2822＞2011
所以滿足S_n＞2011，n的最小值14． …（12分）
分析：（I）利用已知條件，求出等差數列的公比，利用等差數列的通項公式求出通項，從而求出b₂₀₁₂．
（II）根據條件得到S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）2 ^n-1 由于（2n-1）2^n-1是有一等差數列{2n-1}與等比數列{2^n-1}的積構成的數列，利用錯位相減的方法求出前n項和，最后求得S_n＞2011時n的最小值即可．
點評：本題考查等差數列與等比數列的通項公式、數列求和等知識，考查學生運算能力、推理能力、分析問題的能力，中等題．