Question

【題目】如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，.

（1）證明：平面平面；

（2）若點為中點，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明出，可得出，可得出，然后取的中點，連接、，并設，利用勾股定理證明出，由等腰三角形三線合一得出，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出平面，再利用平面與平面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，計算出平面和的法向量，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關系可得出答案.

（1）是等邊三角形，，又，，

，，為直角三角形，所以，

取的中點，連接、，則，.

設，則，又，

，，又，平面，

平面，因此，平面平面；

（2）由題設及（1）可知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、，為的中點，則，

，，.

設平面的一個法向量為，由，得，

得，令，則，，

所以，平面的一個法向量為.

同理可得，平面的一個法向量為，

，

所以，二面角的正弦值為.