【題目】已知三棱柱的側(cè)面是菱形,.
(1) 求證:;
(2)若,,,求的值,使得 二面角的余弦值的為 .
【答案】(1)證明見解析.
(2)2.
【解析】
分析:(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得面,則.
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),計(jì)算可得平面和平面的一個(gè)法向量分別為,,結(jié)合空間向量的結(jié)論計(jì)算可得的長為.
詳解:
(1)因?yàn)閭?cè)面是菱形,所以,
又,,
所以與全等,
所以;
設(shè)和交于,則為和的中點(diǎn),連接,
所以.
又,交于,
所以面;
因?yàn)?/span>面,所以.
(2)因?yàn)?/span>,所以,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?/span>,所以
設(shè),則;
,
設(shè)和分別是平面和平面的法向量,
則
不妨令,則,即
,
不妨令,則,即.
令,即,得或,
所以或(舍),
即的長為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),證明時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(且).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x﹣y+4=0和圓O:x2+y2=4,P是直線l上一點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N.
(1)若PM⊥PN,求點(diǎn)P坐標(biāo);
(2)若圓O上存在點(diǎn)A,B,使得∠APB=60°,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(3)設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q,l與x軸的交點(diǎn)為T,求線段TQ長的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對(duì)居民用水情況進(jìn)行調(diào)查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖的的值;
(2)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由.
(3)估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著我國中醫(yī)學(xué)的發(fā)展,藥用昆蟲的使用相應(yīng)愈來愈多.每年春暖以后至寒冬前,是昆蟲大量活動(dòng)與繁殖季節(jié),易于采集各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān),于是科研人員在3月份的31天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的5組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表:
日期 | 2日 | 7日 | 15日 | 22日 | 30日 |
溫度 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
產(chǎn)卵數(shù)/個(gè) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,記這兩天藥用昆蟲的產(chǎn)卵分別為,,求事件“,均不小于25”的概率;
(2)科研人員確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中任選2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)建立關(guān)于的線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(。┤暨x取的是3月2日與30日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)3月7日、15日和22日這三天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(ⅱ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2個(gè),則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(ⅰ)中所得的線性回歸方程是否可靠?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且2bn=b1(1+Sn),bn≠0,又a2b2=4,a7+b3=11.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=anbn(n∈N*),求{cn}的前n項(xiàng)和Tn
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足 ,.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),若是遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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