Question

選修4—1：幾何證明選講（10分）：

如圖：如圖E、F、G、H為凸四邊形ABCD中AC、BD、AD、DC的中點，∠ABC=∠ADC。

（1）求證：∠ADC=∠GEH；        （3分）

（2）求證：E、F、G、H四點共圓；  （4分）

（3）求證：∠AEF=∠ACB－∠ACD   （3分）

 

Answer 1

【答案】

證明略

【解析】證明：

（1）因為E、G、H為凸四邊形ABCD中AC、AD、DC的中點，

所以EG//CD ，EH//AD 四邊形EGDH是平行四邊形

∠ADC=∠GEH；                                            --------------3分

（2）E、F、H為凸四邊形ABCD中AC、BD、CD的中點，

FG//AB∠GFD=∠ABD  同理可證∠DBC=∠DFH

所以∠GFH=∠ABC   （FG//AB,FH//BC利用等角定理亦可得）         ------5分

 又因為∠ABC=∠ADC（條件），∠ADC=∠GEH（已證）

所以 ∠GFH=∠GEH，所以E、F、G、H四點共圓；                   ---------7分

（3）BC//FH，GH//AC∠ABC=∠FHG(等角定理)

E、F、G、H四點共圓∠FHG=∠FEG    所以∠ABC=∠FEG

       EG//CD∠AEG=∠ACD  

       ∠AEF=∠FEG－∠AEG=∠ACB－∠ACD                         --------10分