已知函數(shù)f1(x)=
2x-1
x+1
，對于n∈N*，定義fn+1（x）=f1[fn（x）]，則f2011（x）=
2x-1
x+1
2x-1
x+1
．
分析：函數(shù)對于n∈N*，定義fn+1（x）=f1[fn（x）]，故f2（x）=f1[f1（x）]=f1（
2x-1
x+1
）=
x-1
x
．f3（x）=f1（
x-1
x
）=
x-2
2x-1
，f4（x）=f1（
x-2
2x-1
）=
1
1-x
，f5（x）=f1（
1
1-x
）=
x+1
2-x
，f6（x）=f1（
x+1
2-x
）=x，f7（x）=f1（x）=
2x-1
x+1
．所以從f1（x）到f6（x），每6個一循環(huán)．由此能求出結(jié)果．
解答：解：∵函數(shù)對于n∈N*，定義fn+1（x）=f1[fn（x）]，
∴f2（x）=f1[f1（x）]=f1（
2x-1
x+1
）=
2•
2x-1
x+1
-1
2x-1
x+1
+1
=
x-1
x
．
f3（x）=f1[f2（x）]=f1（
x-1
x
）=
2•
x-1
x
-1
x-1
x
+1
=
x-2
2x-1
，
f4（x）=f1[f3（x）]=f1（
x-2
2x-1
）=
2•
x-2
2x-1
-1
x-2
2x-1
+1
=
1
1-x
，
f5（x）=f1[f4（x）]=f1（
1
1-x
）=
2•
1
1-x
-1
1
1-x
+1
=
x+1
2-x
，
f6（x）=f1[f5（x）]=f1（
x+1
2-x
）=
2•
x+1
2-x
-1
x+1
2-x
+1
=x，
f7（x）=f1[f6（x）]=f1（x）=
2x-1
x+1
=f1（x）．
所以從f1（x）到f6（x），每6個一循環(huán)．
∵2011=335×6+1，
∴f2011（x）=f1(x)=
2x-1
x+1
，
故答案為：
2x-1
x+1
．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的周期性，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，解題的關(guān)鍵是得到從f1（x）到f6（x），每6個一循環(huán)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=
1
2
時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱為g（x）為f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”．
已知函數(shù)f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．
①若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”，求a的取值范圍；
②當(dāng)a=
2
3
時，求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”有無窮多個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=
1
2
時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”．已知函數(shù)f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•太原模擬）已知函數(shù)f1(x)=ax，f2(x)=xa，f3(x)=logax（其中a＞0且a≠1），當(dāng)x≥0且y≥0時，在同一坐標(biāo)系中畫出其中兩個函數(shù)的大致圖象，正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知函數(shù)f1(x)=e|x-a|，f2(x)=ebx．
（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）-bf2（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）為偶函數(shù)．如果存在．請舉例并證明你的結(jié)論，如果不存在，請說明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函數(shù)g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的單調(diào)區(qū)間；
（III ）對于給定的實(shí)數(shù)?x0∈[0，1]，對?x∈[0，1]，有|f1（x）-f2（x0）|＜1成立．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f1(x)=x+
4
x
(x≠0)，f2(x)=cosx+
4
cosx
(0＜x＜
π
2
)，f3（x）=
8x
x2+1
（x＞0），f4(x)=
9
x+2
+x(x≥-2)，其中以4為最小值的函數(shù)個數(shù)是（　�。�

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同步練習(xí)冊答案