已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè)是[2,+∞)上的增函數(shù)。
(i)求實數(shù)的最大值;
(ii)當(dāng)取最大值時,是否存在點Q,使得過點Q的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想,滿分14分.
解法一:
(I)由及題設(shè)得即
(II)(i)由
得
上的增函數(shù),上恒成立,
即上恒成立,
設(shè)
,
即不等式上恒成立,
當(dāng)時,設(shè)在上恒成立,
當(dāng)時,設(shè)
因為,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,\
因此
,即
又
綜上,m的最大值為3.
(ii)由(i)得其圖象關(guān)于點成中心對稱.
證明如下:
因此,
上式表明,若點為函數(shù)的圖象上的任意一點,
則點也一定在函數(shù)的圖象上,
而線段AB中點恒為點Q,
由此即知函數(shù)的圖象關(guān)于點Q成中心對稱。
這也就表明,存在點,使得過點Q的直線若能與函數(shù)的圖象圍成兩個封閉圖形,
則這兩個封閉圖形的面積總相等。
解法二:
(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)(i)由
得
是[2,+∞)上的增函數(shù),
在[2,+∞)上恒成立,
即在[2,+∞)上恒成立。
設(shè)
即不等式在[1,+∞)上恒成立。
所以在[1,+∞)上恒成立。
所以,可得,
故,好的最大值為3。
(ii)由(i)得
將函數(shù)的圖象向左平移1個長度單位,再向下平移個長度單位,所得圖象相應(yīng)的函數(shù)解析式為
由于,所以為奇函數(shù),
故的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱。
由此即得,函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱。
這也就表明,存在點,使得過點Q的直線若能與函數(shù)的圖象圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積總相等。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省高三5月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)判斷方程根的個數(shù),證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)探究:是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè)?若存在,求出點A的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江蘇省高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 (解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行,若數(shù)列的前項和為,則的值為 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年海南省高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學(xué)卷 題型:填空題
已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是= 。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆山西省高二第二學(xué)期3月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:選擇題
已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為3,數(shù)列
的前項和為,則的值為( )
A、 B、 C、 D、
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年福建省八縣(市高二下學(xué)期期末聯(lián)考(文科)數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為,且在處取得極小值。
(1)求的解析式;
(2)已知函數(shù)定義域為實數(shù)集,若存在區(qū)間,使得在的值域也是,稱區(qū)間為函數(shù)的“保值區(qū)間”.
①當(dāng)時,請寫出函數(shù)的一個“保值區(qū)間”(不必證明);
②當(dāng)時,問是否存在“保值區(qū)間”?若存在,寫出一個“保值區(qū)間”并給予證明;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com