已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為

   (Ⅰ)求實數(shù)的值;

   (Ⅱ)設(shè)是[2,+∞)上的增函數(shù)。

        (i)求實數(shù)的最大值;

        (ii)當(dāng)取最大值時,是否存在點Q,使得過點Q的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由。

 

 

 

【答案】

 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想,滿分14分.

解法一:

   (I)由及題設(shè)得

   (II)(i)由

上的增函數(shù),上恒成立,

上恒成立,

設(shè)

,

即不等式上恒成立,

當(dāng)時,設(shè)上恒成立,

當(dāng)時,設(shè)

因為,所以函數(shù)上單調(diào)遞增,\

因此

,即

綜上,m的最大值為3.

   (ii)由(i)得其圖象關(guān)于點成中心對稱.

證明如下:

    因此,

    上式表明,若點為函數(shù)的圖象上的任意一點,

    則點也一定在函數(shù)的圖象上,

    而線段AB中點恒為點Q,

    由此即知函數(shù)的圖象關(guān)于點Q成中心對稱。

    這也就表明,存在點,使得過點Q的直線若能與函數(shù)的圖象圍成兩個封閉圖形,

    則這兩個封閉圖形的面積總相等。

    解法二:

   (Ⅰ)同解法一。

   (Ⅱ)(i)由

    得

    是[2,+∞)上的增函數(shù),

    在[2,+∞)上恒成立,

    即在[2,+∞)上恒成立。

    設(shè)

   

    即不等式在[1,+∞)上恒成立。

    所以在[1,+∞)上恒成立。

    所以,可得,

    故,好的最大值為3。

   (ii)由(i)得

    將函數(shù)的圖象向左平移1個長度單位,再向下平移個長度單位,所得圖象相應(yīng)的函數(shù)解析式為

    由于,所以為奇函數(shù),

    故的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱。

    由此即得,函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱。

    這也就表明,存在點,使得過點Q的直線若能與函數(shù)的圖象圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積總相等。

 

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已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為

(Ⅰ)求實數(shù)的值;

(Ⅱ)判斷方程根的個數(shù),證明你的結(jié)論;

(Ⅲ)探究:是否存在這樣的點,使得曲線在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側(cè)?若存在,求出點A的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

 

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已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行,若數(shù)列的前項和為,則的值為           .

 

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已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是=        。

 

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已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為3,數(shù)列

的前項和為,則的值為(   )

A、         B、         C、         D、

 

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(本題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為,且在處取得極小值。

(1)求的解析式;

(2)已知函數(shù)定義域為實數(shù)集,若存在區(qū)間,使得的值域也是,稱區(qū)間為函數(shù)的“保值區(qū)間”.

①當(dāng)時,請寫出函數(shù)的一個“保值區(qū)間”(不必證明);

②當(dāng)時,問是否存在“保值區(qū)間”?若存在,寫出一個“保值區(qū)間”并給予證明;若不存在,請說明理由.

 

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