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【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的焦距為2 ,其上下頂點分別為C1 , C2 , 點A(1,0),B(3,2),AC1⊥AC2
(1)求橢圓E的方程及離心率;
(2)點P的坐標為(m,n)(m≠3),過點A任意作直線l與橢圓E相交于點M,N兩點,設直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數列,探究m,n之間是否滿足某種數量關系,若是,請給出m,n的關系式,并證明;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵AC1⊥AC2,C1(0,b),C2(0,﹣b),A(1,0),

=1﹣b2=0,∴b2=1.

∵2c=2 ,解得c= ,∴a2=b2+c2=3.

∴橢圓E的方程為 =1.

離心率e= = =


(2)解:m,n之間滿足數量關系m=n+1.下面給出證明:

①當取M ,N 時,kMB= ,kBP= ,kNB= ,

∵直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數列,∴2× = + ,化為:m=n+1.

②當直線MN的斜率不為0時,設直線MN的方程為:ty+1=x.M(x1,y1),N(x2,y2).

聯(lián)立 ,化為:(t2+3)y2+2ty﹣2=0,

∴y1+y2= ,y1y2=

kMB= ,kBP= ,kNB= ,

∵直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數列,

∴2× = +

由于 + = = =2,

=1,化為:m=n+1


【解析】(1)由AC1⊥AC2 , 可得 =1﹣b2=0,又2c=2 ,a2=b2+c2 , 即可得出.(2)m,n之間滿足數量關系m=n+1.下面給出證明:①當取M ,N 時,根據斜率計算公式、及其直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數列即可證明.②當直線MN的斜率不為0時,設直線MN的方程為:ty+1=x.M(x1 , y1),N(x2 , y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:(t2+3)y2+2ty﹣2=0,根據斜率計算公式、及其直線MB,BP,NB的斜率依次成等差數列、根與系數的關系化簡即可證明.

練習冊系列答案
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【題目】設等差數列{an}的前n項和為Sn,若Sm1=-2,Sm=0,Sm1=3,則m=(  )

A. 5 B. 4 C. 3 D. 6

【答案】A

【解析】

根據數列前n項和的定義得到的值,再由數列的前n項和的公式得到,進而求得首項,由=2,解得m.

Sm-1=-2,Sm=0,故得到 Sm=0,Sm+1=3,則,

根據等差數列的前n項和公式得到Sm,得到首項為-2,故=2,解得m=5.

故答案為:A.

【點睛】

這個題目考查的是數列通項公式的求法及數列求和的常用方法;數列通項的求法中有常見的已知的關系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等。

型】單選題
束】
11

【題目】已知等比數列{an}的各項均為不等于1的正數,數列{bn}滿足bn=lgan,b3=18,b6=12,則數列{bn}的前n項和的最大值等于(  )

A. 126 B. 130 C. 132 D. 134

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(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;
(2)若 ,求數列{cn}的前n項和Tn

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【題目】函數f(x)=Asin(ωx+φ)滿足:f( +x)=﹣f( ﹣x),且f( +x)=f( ﹣x),則ω的一個可能取值是(
A.2
B.3
C.4
D.5

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【題目】在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinC=
(1)若a+b=5,求△ABC面積的最大值;
(2)若a=2,2sin2A+sinAsinC=sin2C,求b及c的長.

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(1) 判斷直線與曲線的位置關系;

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B.(1,3)
C.
D.

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【題目】2018年6月19日凌晨某公司公布的年中促銷全天交易數據顯示,天貓年中促銷當天全天下單金額為1592億元.為了了解網購者一次性購物情況,某統(tǒng)計部門隨機抽查了6月18日100名網購者的網購情況,得到如下數據統(tǒng)計表,已知網購金額在2000元以上(不含2000元)的頻率為0.4.

網購金額(元)

頻數

頻率

5

0.05

15

0.15

25

0.25

30

0.3

合計

100

1

(Ⅰ)先求出的值,再將圖中所示的頻率分布直方圖繪制完整;

(Ⅱ)對這100名網購者進一步調查顯示:購物金額在2000元以上的購物者中網齡3年以上的有35人,購物金額在2000元以下(含2000元)的購物者中網齡不足3年的有20人,請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表,并據此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為網購金額超過2000元與網齡在3年以上有關?

網齡3年以上

網齡不足3年

總計

購物金額在2000元以上

35

購物金額在2000元以下

20

總計

100

參考數據:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.076

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式:其中.

(Ⅲ)從這100名網購者中根據購物金額分層抽出20人給予返券獎勵,為進一步激發(fā)購物熱情,在兩組所抽中的8人中再隨機抽取2人各獎勵1000元現金,求組獲得現金獎的數學期望.

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