Question

若實數x、y、m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m．

(1)若x²－1比3接近0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a²b＋ab²比a³＋b³接近2ab；

(3)已知函數f(x)的定義域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那個值．寫出函數f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性(結論不要求證明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由題意可得 　　即，解得 　　(2)證一： 　　 　　而 　　從而 　　即命題得證． 　　證法二：等價于證明， 　　因為，于是待證不等式直接去掉絕對值符號即可，變形為，于是等價于，因為，且都是整數，所以該式顯然成立． 　　(3)根據定義知道sinx≠0，那么sinx＞0時，f(x)＝1－sinx，sinx＜0時，f(x)＝1＋sinx，于是函數在x∈(2kπ，π+2kπ)(k∈Z)時，sinx＞0時，f(x)＝1－sinx；x∈(－π＋2kπ，2kπ)(k∈Z)時，sinx＜0時，f(x)＝1＋sinx， 為偶函數，最小正周期為，最小值為0，在上單調遞減，在上單調遞增．