已知在如圖所示的正方體ABCD—A1B1C1D1中,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,求證:OO1⊥平面AC.

證法一:連結(jié)O1A和O1C,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,∵AA1⊥A1B1,AA1⊥A1D1,且A1B1∩A1D1=A1,

∴A1A⊥平面A1C1.∵A1C1平面A1C1,∴A1A⊥A1C1.同理,CC1⊥A1C1.

∵A1O1=O1C1,AA1=CC1,

∴△AA1O1≌△CC1O1,O1A=O1C.

∵O為AC中點(diǎn),∴O1O⊥AC.

同理,O1O⊥BD.又AC∩BD=O,∴OO1⊥平面AC.

證法二:∵ABCD—A1B1C1D1為正方體,∴AA1⊥AB,AA1⊥AD.

∵AB∩AD=A,∴AA1⊥平面AC.

∵AA1BB1,BB1CC1,∴AA1CC1,四邊形AA1C1C為平行四邊形.

∵O、O1分別為AC、A1C1的中點(diǎn),∴OO1∥AA1,OO1⊥平面AC.

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(1)現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對x軸正方向．試給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動(dòng)到點(diǎn)A(4，4)．

(2)機(jī)器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)(17，0)處有一小球正向坐標(biāo)原點(diǎn)作勻速直線滾動(dòng)．已知小球滾動(dòng)的速度為機(jī)器人直線行走速度的2倍，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，問機(jī)器人最快可在何處截住小球？

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如圖所示，已知正方體ABCD- A1B1C1D1，棱長為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求：
（1）點(diǎn)P到面ABCD的距離大于的概率P1；
（2）點(diǎn)P到面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于的概率P2。

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