【題目】已知直三棱柱，，，，分別為，，的中點(diǎn)，且．

（1）求證：平面；

（2）求；

（3）求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，，先證明，，從而可得為平行四邊形，進(jìn)而可得，再結(jié)合線面平行的判定定理可證明平面；

（2）設(shè)，，，，易知，且，進(jìn)而用表示出，，并結(jié)合，可求出及；

（3）在平面內(nèi)過點(diǎn)做射線垂直于，易知，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而分別求得平面及平面的法向量，，再由，可求出二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，

則有，且，，且，

又，，所以，且，

所以為平行四邊形，所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）設(shè)，，，，

由已知可得，，且，

則，，

因為，所以，

所以，即．

（3）在平面內(nèi)過點(diǎn)做射線垂直于，易知，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

為平面的一個法向量，

，．

設(shè)為平面的一個法向量，

則，令，則，

則，

所以二面角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】輥?zhàn)邮强图覀鹘y(tǒng)農(nóng)具，南方農(nóng)民犁開田地后，仍有大的土塊.農(nóng)人便用六片葉齒組成輥軸，兩側(cè)裝上木板，人跨開兩腳站立，既能掌握平衡，又能增加重量，讓牛拉動輥軸前進(jìn)，壓碎土塊，以利于耕種.這六片葉齒又對應(yīng)著菩薩六度，即布施持戒忍辱精進(jìn)禪定與般若.若甲乙每人依次有放回地從這六片葉齒中隨機(jī)取一片，則這兩人選的葉齒對應(yīng)的“度”相同的概率為______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面多邊形中，，，，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿折起，使.

（1）證明：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱20件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶時，用戶要對該箱中部分產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立.

（1）記某一箱20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，取最大值時對應(yīng)的產(chǎn)品為不合格品概率為，求；

（2）現(xiàn)從某一箱產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，以（1）中確定的作為p的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為10元，若檢驗出不合格品，則工廠要對每件不合格品支付30元的賠償費(fèi)用，檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)將的圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象．若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則（ ）

A.圖象與對稱B.在單調(diào)遞增

C.在有且僅有3個解D.在有僅有3個極大值點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

①求證：；

②若的面積為，求的值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，平面CDEF⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB＝45°，四邊形CDEF為直角梯形，EF∥DC，ED⊥CD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD.

（1）求證：AD⊥BF；

（2）若線段CF上存在一點(diǎn)M，滿足AE∥平面BDM，求的值；

（3）若a＝1，求二面角D﹣BC﹣F的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，①已知點(diǎn)，直線，動點(diǎn)P滿足到點(diǎn)Q的距離與到直線的距離之比為．②已知點(diǎn)是圓上一個動點(diǎn)，線段HG的垂直平分線交GE于P．③點(diǎn)分別在軸，y軸上運(yùn)動，且，動點(diǎn)P滿足．

（1）在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)A處的切線交軌跡C于M，N兩點(diǎn)，試判斷以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．若不過定點(diǎn)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

（1）當(dāng)的傾斜角為時，求直線的方程；

（2）試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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