我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡記為：．如：，則表示A是一個2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0）），試將m表示成x進(jìn)制的簡記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，，（n∈N*）．求證：．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，，求．
【答案】分析：（1）由m=（1-2x）（1+3x2）=1-2x+3x2-6x3，能將將m表示成x進(jìn)制的簡記形式．
（2），由，知，所以=an（n∈N*），由此能夠證明．
（3）=，由此能夠求出．
解答：解：（1）m=（1-2x）（1+3x2）=1-2x+3x2-6x3（2分）
則（4分）
（2），
∵∴
∴=an（n∈N*），知{an}是周期為3的數(shù)列     （6分）
則
===（10分）
（3）=（14分）
所以，即（18分）
點評：本題考查數(shù)列的遞推公式，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)模擬）我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在實常數(shù)p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年度高三數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編：數(shù)列 題型：044

我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x(x≠0)，使得A＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡記為：

．如：，則表示A是一個2進(jìn)制形式的數(shù)，且A＝－1＋3×2＋(－2)×22＋1×23＝5．

(1)已知m＝(1－2x)(1＋3x2)(其中x≠0)，試將m表示成x進(jìn)制的簡記形式．

(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，，

，是否存在實常數(shù)p和q，對于任意的n∈N*，bn＝p·8n＋q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．

(3)若常數(shù)t滿足t≠0且t＞－1，，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡記為：數(shù)學(xué)公式．如：數(shù)學(xué)公式，則表示A是一個2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式（n∈N*），是否存在實常數(shù)p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，數(shù)學(xué)公式，求數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：奉賢區(qū)模擬 題型：解答題

我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在實常數(shù)p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C1n
)(
C2n
)(
C3n
)…(
Cn-1n
)(
Cnn
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年上海市奉賢區(qū)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡記為：．如：，則表示A是一個2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，，（n∈N*），是否存在實常數(shù)p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，，求．

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