Question

【題目】在如圖三棱錐A－BCD中，BD⊥CD，E，F分別為棱BC，CD上的點，且BD∥平面AEF，AE⊥平面BCD．

（1）求證：平面AEF⊥平面ACD；

（2）若，為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)證明,進而可得即可證明平面AEF⊥平面ACD

(2) 分別以為x,y,z軸建立空間直角坐標系,再根據(jù)構(gòu)造的直角三角形的關(guān)系求得每邊的長度,再利用空間向量求解線面夾角即可.

解：（1）證明：因為,,

所以,因為,所以．

又因為,,

所以,而,

所以,又,

所以．

（2）解：設(shè)直線與平面所成交的余弦值為．

連接,在中,,,

,所以,且,,

又因為,,,

所以,．在中,,,所以．

如圖,以點為坐標原點,分別以為x,y,z軸建立空間直角坐標系,各點坐標為,,,,

因為,為的中點,所以為的中點,即,

設(shè)平面的法向量,

,,

由,即,

整理得,令,得,,則．

因為,所以,

故直線與平面所成交的正弦值為．