Question

已知雙曲線x²－=1,過點A(2，1)的直線l與已知雙曲線交于P₁、P₂兩點.

(1)求線段P₁P₂的中點P的軌跡方程；

(2)過點B(1，1)能否作直線l′,使l′與已知雙曲線交于兩點Q₁、Q₂，且B是線段Q₁Q₂的中點?請說明理由.

Answer 1

(1) 中點P的軌跡方程是2x²－y²－4x+y=0.(2)見解析

解析:

(1)解法一:設(shè)點P₁、P₂的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，中點P的坐標(biāo)為(x,y),則有x₁²－=1,x₂²－=1,兩式相減，得

2(x₁+x₂)(x₁－x₂)=(y₁+y₂)(y₁－y₂).

當(dāng)x₁≠x₂,y≠0時,

由x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,

得=.                                                                                                      ①

又由P₁、P₂、P、A四點共線，

得=.                                                                                                         ②

由①②得=,

即2x²－y²－4x+y=0.

當(dāng)x₁=x₂時，x=2,y=0滿足此方程，故中點P的軌跡方程是2x²－y²－4x+y=0.

解法二:設(shè)點P₁、P₂、中點P的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x,y),

直線l的方程為y=k(x－2)+1,將l方程代入雙曲線x²－=1中，

得(2－k²)x²+2k(2k－1)x+2k²－3=0,

則x₁+x₂=,x₁x₂=,

y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2－4k=.

于是             

當(dāng)y≠0時，由①②得k=.將其代入①，整理得2x²－y²－4x+y=0.當(dāng)l傾斜角為90°時，P點坐標(biāo)為(2，0)仍滿足此方程，故中點P的軌跡方程為2x²－y²－4x+y=0.

(2)假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線l′存在，Q₁、Q₂的坐標(biāo)分別為(x₃,y₃)、(x₄,y₄),同(1)得2(x₃+x₄)(x₃－x₄)=(y₃+y₄)(y₃－y₄).

∵x₃+x₄=2,y₃+y₄=2,

∴=2(x₃≠x₄),

即l′的斜率為2.

∴l′的直線方程為y－1=2(x－1)，

即y=2x－1.

∵方程組無解，與假設(shè)矛盾,

∴滿足條件的直線l′不存在.